A média móvel móvel ponderada exponencial (EWMA) é uma estatística para monitorar o processo que mede os dados de uma forma que dê cada vez menos peso aos dados à medida que eles são removidos no tempo. Comparação do gráfico de controle de Shewhart e das técnicas de controle de EWMA Para a técnica de controle de gráfico de Shewhart, a decisão sobre o estado de controle do processo a qualquer momento, (t) depende apenas da medida mais recente do processo e, claro, O grau de veracidade das estimativas dos limites de controle de dados históricos. Para a técnica de controle EWMA, a decisão depende da estatística EWMA, que é uma média ponderada exponencialmente de todos os dados anteriores, incluindo a medida mais recente. Através da escolha do fator de ponderação, (lambda), o procedimento de controle EWMA pode ser sensível a uma deriva pequena ou gradual no processo, enquanto o procedimento de controle Shewhart só pode reagir quando o último ponto de dados está fora de um limite de controle. Definição de EWMA A estatística que é calculada é: mbox t lambda Yt (1-lambda) mbox ,,, mbox ,,, t 1,, 2,, ldots ,, n. Onde (mbox 0) é a média dos dados históricos (alvo) (Yt) é a observação no tempo (t) (n) é o número de observações a serem monitoradas incluindo (mbox 0) (0 Interpretação do gráfico de controle EWMA O vermelho Os pontos são os dados brutos, a linha irregular é a estatística EWMA ao longo do tempo. O gráfico nos diz que o processo está no controle porque todos (mbox t) se situam entre os limites de controle. No entanto, parece haver uma tendência para cima nos últimos 5 Períodos. MOVANDO MÉDIA E LISO EXPONENCIAL Farideh Dehkordi-Vakil. Apresentação no tema: MOVIMENTAÇÃO DE MEDIÇÕES E LISO EXPONENCIAL Farideh Dehkordi-Vakil. Transcrição de apresentação: 2 Introdução Este capítulo apresenta modelos aplicáveis aos dados das séries temporais com sazonal, de tendência ou de sazonal e de tendência Componentes e dados estacionários. Os métodos de previsão discutidos neste capítulo podem ser classificados como: Métodos de média. Observações igualmente ponderadas. Métodos de suavização exponencial. Conjunto desigual de pesos para dados passados, onde o declínio dos pesos expone Nitialmente dos pontos de dados mais recentes para os mais distantes. Todos os métodos neste grupo exigem que determinados parâmetros sejam definidos. Esses parâmetros (com valores entre 0 e 1) determinarão os pesos desiguais a serem aplicados aos dados passados. 3 Introdução Métodos de média Se uma série de tempo é gerada por um processo constante sujeito a erro aleatório, a média é uma estatística útil e pode ser usada como previsão para o próximo período. Os métodos de média são adequados para dados de séries temporais estacionárias onde a série está em equilíbrio em torno de um valor constante (a média subjacente) com uma variância constante ao longo do tempo. 4 Introdução Métodos de suavização exponencial O método de suavização exponencial mais simples é o método de suavização única (SES) onde apenas um parâmetro precisa ser estimado. O método Holts utiliza dois parâmetros diferentes e permite a previsão de séries com tendência. O método Holt-Winters envolve três parâmetros de suavização para suavizar os dados, a tendência e o índice sazonal. 5 Métodos de média A média Utiliza a média de todos os dados históricos como a previsão Quando novos dados se tornam disponíveis, a previsão do tempo t2 é a nova média, incluindo os dados observados anteriormente mais essa nova observação. Este método é apropriado quando não há tendência notável ou sazonalidade. 6 Métodos de média A média móvel para o período de tempo t é a média das k observações mais recentes. O número constante k é especificado no início. Quanto menor o número k, mais peso é dado aos períodos recentes. Quanto maior o número k, menor peso é dado a períodos mais recentes. 7 Médias móveis Um k grande é desejável quando há flutuações largas e infreqüentes na série. Um pequeno k é mais desejável quando há mudanças repentinas no nível das séries. Para dados trimestrais, uma média móvel de quatro quartos, MA (4), elimina ou projeta efeitos sazonais. 8 Médias móveis Para dados mensais, uma média móvel de 12 meses, MA (12), elimina ou mede o efeito sazonal. Pesos iguais são atribuídos a cada observação usada na média. Cada novo ponto de dados está incluído na média à medida que fica disponível e o ponto de dados mais antigo é descartado. 9 Médias móveis Uma média móvel da ordem k, MA (k) é o valor de k observações consecutivas. K é o número de termos na média móvel. O modelo de média móvel não manipula a tendência ou a sazonalidade muito bem, embora possa fazer melhor do que a média total. 10 Exemplo: vendas semanais de lojas de departamento Os números de vendas semanais (em milhões de dólares) apresentados na tabela a seguir são usados por uma grande loja de departamento para determinar a necessidade de pessoal temporário de vendas. 12 Use uma média móvel de três semanas (k3) para as vendas de lojas de departamento a prever para a semana 24 e 26. O erro de previsão é 15 Métodos de suavização exponencial Este método fornece uma média móvel ponderada exponencialmente de todos os valores observados anteriormente. Apropriado para dados sem tendência previsível para cima ou para baixo. O objetivo é estimar o nível atual e usá-lo como uma previsão de valor futuro. 16 Método de Suavização Exponencial Simples Formalmente, a equação de suavização exponencial é prevista para o próximo período. Suavização constante. E t valor observado das séries no período t. Previsão antiga para o período t. A previsão F t1 baseia-se na ponderação da observação mais recente, com um peso e ponderando a previsão mais recente F t com um peso de 1- 17 Método de suavização exponencial simples A implicação do alisamento exponencial pode ser melhor vista se a equação anterior for expandida Substituindo F t por seus componentes da seguinte forma: 18 Método de Suavização Exponencial Simples Se este processo de substituição for repetido substituindo F t-1 por seus componentes, F t-2 por seus componentes, e assim por diante o resultado é: Portanto, F t1 É a média móvel ponderada de todas as observações passadas. 19 Método de Suavização Exponencial Simples A tabela a seguir mostra os pesos atribuídos às observações passadas para 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 0,9 20 Método de Suavização Exponencial Simples. A equação de suavização exponencial reescrita na forma a seguir elucida o papel do fator de ponderação. A previsão de suavização exponencial é a previsão antiga mais um ajuste para o erro que ocorreu na última previsão. 21 Método de Suavização Exponencial Simples O valor da constante de suavização deve estar entre 0 e 1 não pode ser igual a 0 ou 1. Se desejamos previsões estáveis com variação aleatória suavizada, então um pequeno valor é desejo. Se uma resposta rápida a uma mudança real no padrão de observações é desejada, um grande valor é apropriado. 22 Método de Suavização Exponencial Simples Para estimar, as previsões são calculadas para igual a.1, .2, .3,, .9 e a soma do erro de previsão quadrado é calculada para cada um. O valor de RMSE menor é escolhido para a produção das futuras previsões. 23 Método de Suavização Exponencial Simples Para iniciar o algoritmo, precisamos de F 1 porque, como F 1 não é conhecido, podemos definir a primeira estimativa igual à primeira observação. Use a média das primeiras cinco ou seis observações para o valor inicial suavizado. 24 Exemplo: Índice do Sentimento do Consumidor da Universidade do Michigan University of Michigan Index of Consumer Sentiment para janeiro de 1995 - dezembro de 1996. Queremos prever o Índice de Sentimento do Consumidor da Universidade do Michigan usando o Método de Suavização Exponencial Simples. 25 Exemplo: Índice de Sentimento do Consumidor da Universidade do Michigan Como nenhuma previsão está disponível para o primeiro período, estabelecemos a primeira estimativa igual à primeira observação. Tentamos 0,3 e 0,6. 26 Exemplo: Índice de Sentimento do Consumidor da Universidade de Michigan Nota: a primeira previsão é o primeiro valor observado. A previsão para 95 de fevereiro (t 2) e Mar. 95 (t 3) são avaliadas da seguinte maneira: 27 Exemplo: Índice de Sentimento do Consumidor da Universidade de Michigan RMSE 2,66 para 0,6 RMSE 2,96 para 0,3 28 Holts Suavização exponencial Holts suavização exponencial de dois parâmetros O método é uma extensão de suavização exponencial simples. Adiciona um fator de crescimento (ou fator de tendência) à equação de suavização como forma de ajustar a tendência. 29 Holts Suavização exponencial São utilizadas três equações e duas constantes de suavização no modelo. A estimativa exponencialmente nivelada da série ou do nível atual. A estimativa da tendência. Preveja p períodos no futuro. 30 Holts Suavização exponencial L t Estimativa do nível da série no tempo t constante de suavização para os dados. Nova observação ou valor real das séries no período t. Constante de suavização para estimativa de tendência b t estimativa da inclinação da série no tempo t m períodos a prever para o futuro. 31 Holts Suavização exponencial O peso e pode ser selecionado subjetivamente ou minimizando uma medida de erro de previsão, como RMSE. Grandes pesos resultam em mudanças mais rápidas no componente. Pequenos pesos resultam em mudanças menos rápidas. 32 Holts Suavização exponencial O processo de inicialização para suavização exponencial linear Holts requer duas estimativas: uma para obter o primeiro valor suavizado para L1 O outro para obter a tendência b1. Uma alternativa é definir L 1 y 1 e 33 Exemplo: vendas trimestrais de serras para empresa de ferramentas Acme A tabela a seguir mostra as vendas de serras para a ferramenta Acme Company. Estas são as vendas trimestrais de 1994 a 2000. 34 Exemplo: vendas trimestrais de serras para a empresa de ferramentas Acme. Exame das demonstrações do enredo: dados temporários não estacionários. A variação sazonal parece existir. As vendas para o primeiro e quarto trimestre são maiores do que outros trimestres. 35 Exemplo: vendas trimestrais de serras para a empresa de ferramentas Acme O gráfico dos dados da Acme mostra que pode haver tendência nos dados, pois vamos tentar o modelo Holts para produzir previsões. Precisamos de dois valores iniciais O primeiro valor suavizado para L 1 O valor da tendência inicial b 1. Usaremos a primeira observação para a estimativa do valor suavizado L 1 e o valor da tendência inicial b 1 0. Usaremos .3 e .1. 37 RMSE para este aplicativo é: .3 e .1 RMSE. O gráfico também mostrou a possibilidade de variação sazonal que precisa ser investigada. 38 Winters Exponential Suavizar O modelo de suavização exponencial dos invernos é a segunda extensão do modelo básico de suavização exponencial. É usado para dados que exibem tendência e sazonalidade. É um modelo de três parâmetros que é uma extensão do método Holts. Uma equação adicional ajusta o modelo para o componente sazonal. 39 Winters Exponential Suavização As quatro equações necessárias para o método multiplicativo Winters são: A série exponencialmente suavizada: A estimativa da tendência: A estimativa da sazonalidade: 40 Invernos Exponencial Suavização Previsão m período para o futuro: L t nível de série. Constante de suavização para os dados. E nova observação ou valor real no período t. Suavização constante para estimativa de tendência. B tendência à estimativa da tendência. Suavização constante para estimativa de sazonalidade. Sti estimativa sazonal do componente. M Número de períodos no período de liderança previsto. S longo período de sazonalidade (número de períodos na temporada) previsão para m períodos no futuro. 41 Alceamento Exponencial de Invernos Tal como acontece com o suavização exponencial linear de Holts, os pesos, e podem ser selecionados subjetivamente ou minimizando uma medida de erro de previsão, como RMSE. Tal como acontece com todos os métodos de suavização exponencial, precisamos de valores iniciais para que os componentes iniciem o algoritmo. Para iniciar o algoritmo, os valores iniciais para L t, a tendência b t e os índices S t devem ser definidos. 42 Winters Suavização exponencial Para determinar as estimativas iniciais dos índices sazonais, precisamos usar pelo menos um período de tempo completo (ou seja, períodos s). Por isso, inicializamos tendência e nível no período s. Inicialize o nível como: Inicialize a tendência como Inicializar índices sazonais como: 43 Winters Suavização Exponencial Aplicaremos o método Winters para as vendas da empresa Acme Tool. O valor para is.4, o valor para is.1 eo valor para is.3. A constante de suavização suaviza os dados para eliminar aleatoriedade. A constante de suavização suaviza a tendência no conjunto de dados. 44 Winters Suavização exponencial A constante de suavização suaviza a sazonalidade nos dados. Os valores iniciais para a série suavizada L t, a tendência T t e o índice S t S têm que ser configurados. 47 Seasonality Additive O componente sazonal no método de Holt-Winters. As equações básicas para o método aditivo Holts Winters são: 48 sazonalidade aditiva Os valores iniciais para L s e b s são idênticos aos do método multiplicativo. Para inicializar os índices sazonais, usamos os Modelos da Série da PowerPoint PPT Presentation Chatfield (1979), o JRSS A, entre outros, sugeriu o uso da autocorrelação inversa para auxiliar na identificação de um modelo adequado Abraham amp Ledolter (1984) Biometrika mostra que, embora isso recorte Após a defasagem p para o modelo AR (p), é menos eficaz do que a autocorrelação parcial para detectar a ordem AR Outras ferramentas de identificação O Critério de Informação Akaike é uma função da máxima verossimilhança mais o dobro do número de parâmetros O número de parâmetros na fórmula Penaliza os modelos com muitos parâmetros Uma vez que o principal geralmente aceito é que os modelos devem ser parsimoniosos, com poucos parâmetros possíveis. Observe que qualquer modelo ARMA pode ser representado como um modelo puro AR ou puro MA, mas o número de parâmetros pode ser infinito Os modelos AR são mais fáceis Para caber, então há uma tentação de se ajustar a um modelo AR menos parcimonioso quando um modelo ARMA misturado é apropriado Ledolter amp Abraham (1981) Technometrics mostra que o ajuste de parâmetros extra desnecessários ou um modelo de AR quando um modelo de MA é apropriado, resulta na perda da precisão da previsão. A maioria das técnicas de suavização exponencial são equivalentes a um modelo ARIMA de algum tipo O alisamento sazonal multiplicativo Winters não tem ARIMA Alumínio equivalente aditivo equivalente Winters tem um equivalente ARIMA muito incomparável Suavização exponencial Por exemplo, o alisamento exponencial simples é o método ideal para ajustar o processo ARIMA (0, 1, 1). Otimização é obtida tomando o parâmetro de suavização para ser 1 quando o modelo É suavização exponencial
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